每日一题：2020-10-05

每日一题: 2020-10-05

题目: 设方程$|x^2+ax|=4$ 只有$3$ 个不相等的实数根, 求$a$ 的值和相应的$3$ 个根.

参考思路

方程$|x^2+ax|=4\Leftrightarrow x^2+ax-4=0 $ 及$x^2+ax+4=0$.
设$x_0$ 是方程$x^2+ax-4=0$ 的根, 则$x_0^2+ax_0+4=(x_0^2+ax_0-4)+4+4=8\neq 0$
所以这两个方程没有公共根.
由于只有$3$ 个不相等的实数根, 故必有且只有一个方程有两个相等的实数根.
$\Delta_1=a^2+16, \Delta_2=a^2-16$, 所以只可能$\Delta_2=0\Rightarrow a=\pm 4$
当$a=4$ 时,方程$x^2+ax+4=0$ 的根为$-2$, 方程$x^2+ax-4=0$ 的根为$-2\pm 2\sqrt{2}$;
当$a=-4$ 时, 方程$x^2+ax+4=0$ 的根我$2$, 方程$x^2+ax-4=0$ 的根问$2\pm 2\sqrt{2}$.

综上, $a=4$ 时的$3$ 个根为$-2,-2\pm 2\sqrt{2}$; $a=-4$时的$3$ 个根为$2,2\pm 2\sqrt{2}$.