每日一题：2020-10-06

每日一题: 2020-10-06

题目: 若$a$ 与$b$ 是方程$x^4+x^3=1$ 的两个相异的根, 试证: $ab$ 是方程$x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$ 的根.

参考思路

由已知得: $a^4+a^3=1, b^4+b^3=1$, 令$p=a+b,q=ab$, 将两式相乘得:
$(a^4+a^3)(b^4+b^3)=1\Rightarrow q^3(q+p+1)=1\Rightarrow p=\frac{1-q^3-q^4}{q^3}$.

将两式相减得:
$(a^4+a^3)-(b^4+b^3)=(a^4-b^4)+(a^3-b^3)=0$, 因为$a\neq b$, 所以有:
$(a^2+b^2)(a+b)+(a^2+ab+b^2)=0\Rightarrow (a^3+a^2)+(b^3+b^2)+ab(a+b+1)=0$
因为$a^3+a^2=\frac{1}{a}, b^3+b^2=\frac{1}{b}$,所以上式得: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab(a+b+1)=0$
所以有$p=\frac{-q^2}{1+q^2}$, 所以有$\frac{1-q^3-q^4}{q^3}=\frac{-q^2}{1+q^2}\Rightarrow q^6+q^4+q^3-q^2-1=0$
故$q=ab$ 是方程$x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$ 的根.