每日一题：2020-10-12

每日一题: 2020-10-12

题目: 如果$a\leq b$, 那么在数轴上的范围$a\leq x\leq b$, 可以表示为区间$[a,b]$, 同样可以
定义 $(a,b),[a,b),(a,b]$ 分别为$a\lt x\lt b, a\leq x\lt b,a\lt x\leq b$.
再定义区间$(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]$ 的长度为$d=b-a$, 用$[x]$ 表示不超过$x$ 的最大
整数, 记{$x$}=$x-[x]$, 其中$x\in R$. 设$f(x)=[x]$ {$x$}, $g(x)=x-1$, 若用 $d$ 表示
不等式$f(x)\lt g(x)$ 解集区间的长度, 则当$0\leq x\leq 3$ 时, 有
A) $d=1$
B) $d=2$
C)$d=3$
D)$d=4$

参考思路

由题意知$f(x)=[x]x-[x]^2$, 所以

f(x)=\\left\\{\\begin{array}{lr} 0 (0\leq x\lt 1) \\\\ x-1 (1\leq x\lt 2)\\\\ 2x-4(2\leq x\leq 3) \\end{array}\\right.

显然当$2\leq x\leq 3$ 时不等式有解, 解$2x-4\lt x-1\Rightarrow x<3$, 所以原不等式
的解集为$2\leq x<3$, 所以$d=1$, 故选A.