每日一题：2020-10-13

每日一题:2020-10-13

题目: 设$a$ 是正数, $ax+y=2(x\geq 0,y\geq 0)$, 记$h(x,y)=y+3x-\frac{1}{2}x^2$ 的最
大值为$M(a)$, 求$M(a)$ 的表达式.

参考思路

将$y=2-ax$ 代入$h(x,y)$ 得$h(x,y)=2-ax+3x-\frac{1}{2}x^2=-\frac{1}{2}[x-(3-a)]^2+\frac{1}{2}(3-a)^2+2(x\geq 0)$.
$\because y\geq 0,\therefore 2-ax\geq 0$. 又$a>0$, $\therefore 0\leq x\leq \frac{2}{a}$.
令$S(x)=h(x,y)=-\frac{1}{2}[x-(3-a)]^2+\frac{1}{2}(3-a)^2+2, x\in[0,\frac{2}{a}],a\gt 0$.
将区间看作是不动的, 对称轴变化, 进行如下讨论:
(1) 当$0\lt 3-a< \frac{2}{a}(a\gt 0)$, 即$0\lt a\lt 1$ 或$2\lt a\lt 3$.时
此时$M(a)=S(3-a)=\frac{1}{2}(3-a)^2+2$.

(2) 当$3-a\geq \frac{2}{a}(a\gt 0)$, 即$1\leq a\leq 2$ 时
此时$M(a)=S(\frac{2}{a})=2-a\times \frac{2}{a}+3\frac{2}{a}-\frac{1}{2}(\frac{2}{a})^2=-\frac{2}{a^2}+\frac{6}{a}$.

(3) 当$3-a\leq 0$,即$a\geq 0$ 时
此时$M(a)=S(0)=2$.
综上所述,
\[
M(a)=\left\{\begin{array}{lr} \frac{1}{2}(3-a)^2+2, 0\lt a\lt 1 或 2\lt a\lt 3 \\ -\frac{2}{a^2}+\frac{6}{a}, 1\leq a\leq 2, \\ 2, a\geq 3 \end{array}\right.
\]