每日一题：2020-10-14

每日一题: 2020-10-14

题目: 如图, $AB$ 是$\odot O$ 的直径, $AC$ 是弦, $\angle BAC$ 的平分线$AD$ 交$\odot O$
与点$D$, $DE\bot AC$, 交$AC$ 的延长线于点$E$, $OE$ 交$AD$ 于点$F$.
(1) 求证: $DE$ 是$\odot O$ 的切线;
(2) 若$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$, 求$\frac{AF}{DF}$.

参考思路

(1) 证明: 连接$OD$,可得$\angle ODA=\angle OAD=\angle DAC$
$\therefore OD\parallel AE$
$\because AE\bot DE$
$\therefore DE\bot OD$, 而$OD$ 为半径
$\therefore DE$ 是$\odot O$ 的切线.

(2) 过$D$ 作$DH\bot AB$ 于$H$, 则有$\cos \angle DOH=\cos\angle CAB=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$
设$OH=x$, 则$OA=OD=3x$,
$\therefore AH=4x$
由$\triangle AED\cong \triangle AHD\Rightarrow AE=AH=4x$.
又$OD\parallel AE\Rightarrow \triangle AEF\backsim \triangle DOF$.
$\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AE}{OD}=\frac{4}{3}, \frac{AF}{DF}=\frac{4}{3}$.