每日一题：2020-10-15

每日一题: 2020-10-15

题目: 已知函数$f(x)=ax^2+2x+c, (a,c\in N^*)$ 满足: $f(1)=5, 6\lt f(2)\lt 11$.
(1) 求函数$f(x)$ 的解析式;
(2) 若对任意的实数$\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$, 都有$f(x)-2mx\leq 1$ 成立,
求实数$m$ 的取值范围.

参考思路

(1)$\because f(1)=a+2+c=5\Rightarrow c=3-a$;
又$\because 6\lt f(x)\lt 11\Rightarrow 6\lt 4a+c+4\lt 11$, 将$c=3-a$ 代入得
$-\frac{1}{3}\lt a\lt \frac{4}{3}$, 又$\because a,c\in N^*\Rightarrow a=1,c=2$.
$\therefore f(x)=x^2+2x+2$.

(2)证明: $\because \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$
$\therefore $ 不等式$f(x)-2mx\leq 1$ 恒成立 $\Leftrightarrow x^2+(2-2m)x+1\leq 0$
在$\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$ 上恒成立.
设$g(x)=x^2+(2-2m)x+1$, $g(x)$ 是开口向上的二次函数, 对称轴为直线$x=m-1$.
(i)当$m-1\lt \frac{1}{2}$时, 满足$g(\frac{3}{2})\leq 0$;
(ii) 当$\frac{1}{2}\leq m-1\leq \frac{3}{2}$ 时, 满足$g(\frac{1}{2})\leq 0$ 且$g(\frac{3}{2})\leq 0$;
(iii) 当$m-1\gt \frac{3}{2}$ 时, 满足$g(\frac{1}{2})\leq 0$
解得: $m\geq \frac{9}{4}$.