每日一题：2020-10-20

每日一题: 2020-10-20

题目: 若函数$y=|-x^2+2x+3|$ 的图象于直线$y=kx+3$ 恰有三个公共点, 求$k$ 的值.

参考思路

已知函数$y=|-x^2+2x+3|$ 的图象是将$y=-x^2+2x+3$ 的图象在$x$ 轴下方的部分沿$x$ 轴翻
折, 其余部分不变, 图象与$x$ 轴交于$A(-1,0),B(3,0)$.
直线 $y=kx+3$ 是绕着点$(0,3)$ 旋转的, 所以直线$y=kx+3$ 经过$A,B$ 时满足要求, 将
$A(-1,0),B(3,0)$ 代入可得$k=3,k=-1$.
当抛物线与直线在$-1\leq x\leq 3$ 范围只有一个交点时, 则$kx+3=-x^2+2x+3$
$\therefore \Delta=(k-2)^2=0\Rightarrow k=2$.
综上可得, 当$k=-1,2 $或$3$ 时 满足要求.