每日一题：2020-10-23

每日一题: 2020-10-23

题目: 已知$\triangle ABC$ 是等腰三角形, $\angle BAC=90^{\circ}, DE\bot CE, DE=CE=\frac{1}{2}AC$.
连结$AE$, 点$M$ 是$AE$ 的中点.
(1) 如图(1), 若点$D$ 在$\triangle ABC$ 的内部, 连结$BD$, 点$N$ 是$BD$ 中点, 连结$MN,NE$,
求证: $MN\bot AE$;
(2) 如图(2), 将图(1)中的$\triangle CDE$ 绕点$C$ 逆时针旋转, 使$\angle BCD=30^{\circ}$, 连结$BD$,
点$N$ 是$BD$ 中点, 连结$MN$, 探索$\frac{MN}{AC}$ 的值.

参考思路

(1)如图, 延长$EN$ 至点$F$, 使得$NF=NE$, 连结$FB$.
易证$\triangle DEN\cong \triangle BFN$. 从而可得$BF\parallel DE, BF=DE$.
延长$FB,CE$ 交于点$G$, 则$\angle G=90^{\circ}$, 从而$A,B,G,C$ 四点共圆.
所以$\angle ABF=\angle ACE$.
连结$AF$, 所以$\triangle ABF\cong \triangle ACE(SAS)$.
所以$AF=AE$, 且$AF\bot AE$.
而$MN\parallel AF$, 所以$MN=\frac{1}{2}AE$, 且$MN\bot AE$.

(2) 如图, 同(1) 可得$MN=\frac{1}{2}AE$, 且$MN\bot AE$.
由题意可得$AC=2CE$, 作$EH\bot AC$ 于点$H$, 则$\angle ECH=60^{\circ}$,
所以$CH=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{4}AC, EH=\frac{\sqrt{3}}{4}AC$,
从而$AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}AC\Rightarrow \frac{MN}{AC}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.