每日一题：2020-10-24

每日一题: 2020-10-24

题目: 如图, 在平面直角坐标系$xOy$ 中, 矩形$OABC$ 的边$OA$ 在$y$ 轴的正半轴上, $OC$
在$x$ 轴的正半轴上, $OA=1,OC=2$, 点$D$ 在$OC$ 上且$OD=\frac{5}{4}$.
(1) 求直线$AC$ 的表达式;
(2) 在$y$ 轴上是否存在点$P$, 直线$PD$ 与矩形的对角线$AC$ 交于点$M$, 使得$\triangle DMC$ 为
等腰三角形? 若存在, 直接写出所有符合条件的点$P$ 的坐标;若不存在, 请说明理由.

参考思路

(1) 由已知$A(0,1),C(2,0)$, 从而直线$AC$ 的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+1$.
(2) 存在符合条件的点$P$, 坐标为$(0,-\frac{5(\sqrt{5}+2)}{4}),(0,\frac{5}{3})$ 或$(0,-\frac{5}{8})$.

设点$M$ 的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m+1)$, 则$0\leq m\lt 2$.
由平面内两点距离公式可得$CD^2=\frac{9}{16}$, $CM^2=(2-m)^2+(-\frac{1}{2}m+1)^2, DM^2=(m-\frac{5}{4})^2+(-\frac{1}{2}m+1)^2$.
(i) 当$CD=CM$ 时, 有$\frac{9}{16}=(2-m)^2+(-\frac{1}{2}m+1)^2\Rightarrow m_1=2-\frac{3\sqrt{5}}{10}, m_2=2+\frac{3\sqrt{5}}{10}$ (舍去)
所以点$M$ 的坐标为$(2-\frac{3\sqrt{5}}{10},\frac{3\sqrt{5}}{20})$.
从而得到直线$DM$ 的表达式为$y=(\sqrt{5}+2)x-\frac{5(\sqrt{5}+2)}{4}\Rightarrow P(0,-\frac{5(\sqrt{5}+2)}{4})$;

(ii) 当$DM=DC$ 时, 有$\frac{9}{16}=(m-\frac{5}{4})^2+(-\frac{1}{2}m+1)^2\Rightarrow m_3=\frac{4}{5}, m_4=2$(舍去)
所以$M(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\Rightarrow DM$ 表达式为: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$,
可得$P$ 的坐标$(0,\frac{5}{3})$.

(iii) 当$MD=MC$ 时, 有 $(m-\frac{5}{4})^2+(-\frac{1}{2}m+1)^2=(-\frac{1}{2}m+1)^2+(2-m)^2\Rightarrow M_5=\frac{13}{8}$.
所以$M(\frac{13}{8},\frac{3}{16})\Rightarrow DM$ 表达式为$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}$
可得$P$ 的坐标为$(0,-\frac{5}{8})$.

综上所述, 符合条件点$P$ 的坐标为$(0,-\frac{5(\sqrt{5}+2)}{4}),(0,\frac{5}{3}),(0,-\frac{5}{8})$