每日一题：2020-10-26

每日一题: 2020-10-26

题目: 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线$y=ax^2+bx+4$ 与$x$ 轴的一个交点为$A(-2,0)$,
与$y$ 轴的交点为$C$, 对称轴是$x=3$, 对称轴与$x$ 轴交于点$B$.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) 若点$D$ 在$x$ 轴上, 在抛物线上是否存在点$P$, 使得$\triangle PBD\cong \triangle PBC$?
若存在, 写出点$P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

参考思路

(1) 易求得抛物线表达式为: $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4$.

(2) 存在, 点$P$ 的坐标为$(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2}),(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2}), (-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$
或$(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$.
因为$OC=4,OB=3\Rightarrow BC=5$.
如果$\triangle PBD\cong \triangle PBC\Rightarrow BD=BC=5$.
因为点$D$ 在$x$ 轴上, 所以点$D$ 人坐标为$(-2,0)$ 或$(8,0)$.

(a) 如图所示, 当 点$D$ 为$(-2,0)$ 时, 连结$CD$,过$B$ 作直线$BE$ 平方$\angle DBC$,
交$CD$ 于点$E$, 抛物线于点$P_1,P_2$.
此时$\triangle P_1BC\cong \triangle P_1BD$, $\triangle P_2BC\cong \triangle P_2BD$.
所以$BC=BD$.
所以$E$ 为$CD$ 的中点, 即点$E$ 的坐标为$(-1,2)$;
由$B,E$ 得直线$BE$ 为: $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$,
联立抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4$ 解得: 点$P_1(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})$,
点$P_2(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2}).$

(b) 如图, 当$D$ 为$(8,0)$ 时, 连结$CD$, 过$B$ 作直线$BF$ 平分$\angle DBC$ 交$CD$
于点$F$, 交抛物线于点$P_3,P_4$, 此时$\triangle P_3BC\cong P_3BD, \triangle P_4BC\cong P_4BD$.
由$B,F$ 解得直线$BF$ 为: $y=2x-6$, 联立抛物线方程: $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4$
解得$P_3(-1+\sqrt{41}, -8+2\sqrt{41}), P_4(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41})$.