每日一题：2020-10-28

每日一题: 2020-10-28

题目: 设$\triangle ABC$ 中, $a,b,c$ 分别为$\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边, $R$
为$\triangle ABC$的外接圆的半径, $S$ 为$\triangle ABC$ 的面积.
求证: $R=\frac{abc}{4S}$.

参考思路

设$\angle A$ 是$\triangle ABC$ 中的最大角, 自$A$ 作$AD\bot BC$ 于$D$. ($D$ 在边$BC$ 上).
作$\triangle ABC$ 的外接圆$\odot O$, 连结$AO$ 交$\odot O$ 于$E$, 连结$BE$, 则$\angle ABE=90^{\circ}$.
又$\angle BEA=\angle C\Rightarrow \triangle ABE\backsim \triangle ADC$.
所以$AE\cdot AD=AB\cdot AC\Rightarrow 2R=AE=\frac{AB\cdot AC}{AD}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{AD\cdot BC}=\frac{abc}{2S}$
所以$R=\frac{abc}{4S}$