每日一题：2020-11-01

每日一题: 2020-11-01

题目: 如图, 已知锐角$\triangle ABC$ 的外心为$O$, 线段$OA$ 和$BC$ 的中点分别为点$M,N$.
若$\angle ABC=4\angle OMN, \angle ACB=6\angle OMN$, 求$\angle OMN$ 的大小.

参考思路

连结$OC$. 设$\angle OMN=x$, 则$\angle ABC=4x, \angle ACB=6x$;
$\because \angle NOC=180^{\circ}-10x, \angle AOC=8x$,
$\therefore \angle ONM=180^{\circ}-(180^{\circ}-10x+8x+x)=x$,
$\therefore \triangle MON$ 为等腰三角形,
$\therefore ON=OM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OB$;
$\therefore \angle OBN=30^{\circ}\Rightarrow 180^{\circ}-10x=60^{\circ}\Rightarrow x=12^{\circ}$.