每日一题：2020-11-03

每日一题: 2020-11-03

题目: 如图, 已知$ABCD$ 为$\odot O$ 的内接四边形, $E$ 是$BD$ 上的一点, 且有$\angle BAE=\angle DAC$.
求证: (1) $\triangle ABE\backsim \triangle ACD$;
(2) $AB\cdot DC+AD\cdot BC=AC\cdot BD$.

参考思路

$\because ABCD$ 内接于圆$O$,
$\therefore \angle ABE=\angle ACD$, 又$\because \angle BAE=\angle CAD$.
$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle ACD$.

(2) 由$\angle BAC=\angle EAD, \angle ADE=\angle ACB\Rightarrow \triangle ADE\backsim \triangle ACB$.
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}\Rightarrow AD\cdot BC=AC\cdot DE$.
由$\triangle ABE\backsim \triangle ACD\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}\Rightarrow AB\cdot CD=AC\cdot BE$
将上述两式相加得: $AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot (DE+BE)=AC\cdot BD$. 得证.