每日一题：2020-11-04

每日一题: 2020-11-04

题目: 如图, $AB$ 是$\odot O$ 的一条弦, 向两端分别延长$AB$ 至$P$ 和$Q$, 过$P,Q$ 分
别作$\odot O$ 的两切线切$\odot O$ 于$M,N$ 两点, 连结$MN$.
(1) 若$PA=QB$, 求证: $MN$ 平分$AB$;
(2) 若$MN$ 平分$AB$, 求证: $PA=QB$.

参考思路

(1) 如图所示, 连结$OP,OQ,OM,ON$, 设$PQ$ 与$MN$ 相交于点$K$, 连结$OK$.
$\because PA=QB, PM,QN$ 为切线, 由切割线定理得
$PM^2=PA\cdot PB=PA\cdot (PA+AB)=QB\cdot (QB+BA)=QB\cdot QA=QN^2\Rightarrow PM=QN$.
且$OM=ON, \angle PMO=\angle QNO\Rightarrow \triangle PMO\cong QNO(HL)$
$\therefore OP=OQ, \angle MOP=\angle NOQ\Rightarrow \angle MON=\angle POQ$
$\therefore \angle QPO=\angle NMO\Rightarrow K,P,M,O$ 四点共圆,
$\therefore \angle QKO=\angle PMO=90^{\circ}$
$\therefore KA=KB$

(2) 如图, 如果$KA=KB\Rightarrow OK\bot AB$
$\therefore O,K,P,M$ 和$O,K,N,Q$ 都是四点共圆.
$\therefore \angle OPK=\angle OMK, \angle OQK=\angle ONK$
$\because OM=ON$, $\therefore \angle OMK=\angle ONK$.
$\therefore \angle OPK=\angle PQK\Rightarrow OP=OQ$
$\because OK\bot PQ\Rightarrow KP=KQ\Rightarrow PA=QB$