每日一题：2020-11-07

每日一题: 2020-11-07

题目: 如图, 在$\triangle ABC$ 中, $AB=4\sqrt{2}, BC=7, AD$ 是$\triangle ABC$ 的中
线, 点$H$ 在线段$AD$ 上, 若$\angle ABC=\angle BHD=45^{\circ}, BH$ 交$AC$ 于点$F$.
求$CF$.

参考思路

由$\angle ABC=45^{\circ}$, 作$BC$ 边上的高构造等腰直角三角形, 由已知可得$AG=4, GC=3, AC=5, DG=\frac{1}{2}$
可得$AD=\frac{\sqrt{65}}{2}$, 再由$\angle ABC=\angle BHD\Rightarrow \triangle ABD\backsim \triangle HDB\Rightarrow \frac{BD}{AD}=\frac{HD}{BD}$
从而求出$HD=\frac{49\sqrt{65}}{130}\Rightarrow \frac{AH}{HD}=\frac{16}{49}$.

过点$A$ 作$AE\parallel BC$, 构造比例线段, 由$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{AE}{2BD}=\frac{AH}{2HD}$
可求得$FC=\frac{49}{57}, AC=\frac{245}{57}$.