每日一题：2020-02-28

题目：
如图所示, 已知凸四边形 $ABCD$ , $M,F,N,E$ 分别为 $DA,AB,BC,CD$ 的中点, 如果
$MN+EF=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$ , 证明 $ABCD$ 为平行四边形.

参考答案

设 $E$ 是对角线 $AC$ 的中点，连结 $PE,EQ$ 如图所示，则 $PE\parallel AB, PE=BM=\frac{1}{2} AB$ . 同理可得 $EM\parallel BC, EM=\frac{1}{2} BC$ ; $EQ\parallel DC,EQ=\frac{1}{2} DC$ ; $EN\parallel AD, EN=\frac{1}{2} AD$ . 相加得 $$EP+EM+EQ+EN=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$$ 另一方面有： $EM+EN\geq MN, EP+EQ\geq PQ$ .所以 $$EP+EM+EQ+EN\geq MN+PQ=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$$ 由上述两式可得： $$EP+EM+EQ+EN=PQ+MN$$ 因此， $E$ 应位于 $MN$ 与 $PQ$ 的交点 $O$ 处，即 $OA=OC$ 同理可证 $BD$ 的中点也与 $O$ 重合，有 $OB=OD$ . 所以四边形 $ABCD$ 为平行四边形.