每日一题：2020-02-28

题目：
如图所示, 已知凸四边形 $ABCD$ , $M,F,N,E$ 分别为 $DA,AB,BC,CD$ 的中点, 如果
$MN+EF=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$ , 证明 $ABCD$ 为平行四边形.

参考答案

设 $E$ 是对角线 $AC$ 的中点，连结 $PE,EQ$ 如图所示，则 $PE\parallel AB, PE=BM=\frac{1}{2} AB$ .
同理可得 $EM\parallel BC, EM=\frac{1}{2} BC$ ; $EQ\parallel DC,EQ=\frac{1}{2} DC$ ; $EN\parallel AD, EN=\frac{1}{2} AD$ .

相加得

$EP+EM+EQ+EN=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$

另一方面有： $EM+EN\geq MN, EP+EQ\geq PQ$ .所以

$EP+EM+EQ+EN\geq MN+PQ=\frac{1}{2} (AB+BC+CD+DA)$

由上述两式可得：

$EP+EM+EQ+EN=PQ+MN$

因此， $E$ 应位于 $MN$ 与 $PQ$ 的交点 $O$ 处，即 $OA=OC$
同理可证 $BD$ 的中点也与 $O$ 重合，有 $OB=OD$ .

所以四边形 $ABCD$ 为平行四边形.