每日一题：2020-03-09

每日一题: 2020-03-09
题目:
如图所示, 点$P$ 为正方形$ABCD$ 内一点, 满足$PA=1,PB=2,PC=3$.
(1)求$PD$ 的长.
(2)求$\angle APB$ 的大小.

参考思路

(1) 如图所示作辅助线, 过点$P$ 分别作$AB,BC$ 的垂线, 分别叫四边于$E,F,M,N$, 设
$PE=x,PF=y,PM=a,PN=b$, 所以可得:

$x^2+a^2=PA^2=1,x^2+b^2=PB^2=4, y^2+b^2=PC^2=9$

所以有: $a^2+y^2=(x^2+a^2)+(y^2+b^2)-(x^2+b^2)=6\Rightarrow PD=\sqrt{6}$.

(2) 将点$P$ 绕点$B$ 顺时针旋转$90^{\circ}$ 到点$Q$, 连结$QP,QC$.
易得$\triangle PAB \cong \triangle QCB$, 在$\triangle PCQ$ 中有
$PQ=2\sqrt{2}, QC=1,PC=3\Rightarrow \triangle PCQ$ 为直角三角形, 所以$\angle PQC=90^{\circ}$.

因此有$\angle BQC=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}=\angle APB$.