每日一题：2020-03-15

每日一题: 2020-03-15
题目:
如图所示, 已知四边形$ABCD$ 对角线$AC,BC$ 相交于点$O$. $\triangle OAB, \triangle OCD$ 为等边三角形.
$S,P,Q$ 分别为$OD,OA,BC$ 的中点.
（1）证明$\triangle PQS$ 为等边三角形;
（2）如果$AB=5,CD=3$ 求$\triangle PQS$ 的面积;
（3）如果$\triangle PQS$ 的面积与$\triangle AOD$ 的面积的比是$7:8$, 求$CD:AB$.

参考思路

显然有$\triangle OAD\cong \triangle OBC\Rightarrow AD=BC,\angle CBD=\angle DAC$.
连结$CS,BP\Rightarrow CS\bot DB, BP\bot AC$.
因为$Q$ 为$BC$ 中点，所以$QS=QP=\frac{BC}{2}$. 由$PS$ 为中位线得$PS=\frac{AD}{2}$.
因此有$\triangle PQS$ 为等边三角形.

(2)由$DC=3, BO=5\Rightarrow CS=\frac{3\sqrt{3} }{2}, BS=\frac{13}{2}\Rightarrow BC=7\Rightarrow QS=\frac{7}{2}$.
因此$S_{PQS}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{7}{2} \right)^2=\frac{49\sqrt{3} }{16}$.

(3) 设$DC=2x,AB=2y$参照上一问得作法得: $BC^2=CS^2+SB^2=(\sqrt{3} )^2+(x+2y)^2=4x^2+4xy+4y^2\Rightarrow S_{\triangle PQS}=\frac{\sqrt{3} }{4}(x^2+xy+y^2)$.

另一方面: $S_{AOD}=S_{BOC}=\frac{OB\times CS}{2}=\sqrt{3} xy\Rightarrow \frac{x^2+xy+y^2}{4xy}=\frac{7}{8}\Rightarrow 2x^2-5xy+2y^2=0\Rightarrow (2x-y)(x-2y)=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2}$ 或$\frac{x}{y}=2$.

所以$CD:AB=2x:2y=x:y=\frac{1}{2}$ 或$2$.