每日一题：2020-03-17

每日一题: 2020-03-17
题目:
如图, 已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形, $D,E$ 分别是边 $BC,CA$ 的
三等分点. $AD,BE$ 相交于点 $F$.
（1）求证： $DF\bot AC$ ;
（2）求四边形 $DCEF$ 的周长.

参考思路

(1) 如图所示, 设$M$ 为$DC$ 的中点,连结$EM$, 过$E$ 作$EN\bot AD$ 于$N$.
$\therefore \triangle CME$ 为正三角形, 由$ME=MC=MD\Rightarrow \angle DEC=90^{\circ}$.

(2) 另一方面显然有$\triangle ABD\cong BCE\Rightarrow \angle AFE=60^{\circ}$.
又$DE=\sqrt{3}EC=\sqrt{3}$, 在$\triangle ADE$ 中,
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{7}$, 因此可得 $S_{ADE}=\frac{AD\cdot NE}{2}=\frac{AE\cdot DE}{2}$.
可求得$NE=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\Rightarrow NF=\frac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow EF=\frac{4}{\sqrt{7}}$.
在$Rt\triangle DNE$ 中, $DN=\sqrt{DE^2-NE^2}=\frac{3}{\sqrt{7}}\Rightarrow DF=DN-NF=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

综上可得: 四边形$DCEF$ 的周长为$DC+CE+EF+FD=\frac{5\sqrt{7}}{7}+3$.