每天一题：2020-03-19

每日一题: 2020-03-19
题目:
如图, 以$\triangle ABC$ 的两边为边, 分别向形外作正方形$ABDE$ 和$ACFG$. 连结$DF$,
自$DF$ 的中点$M$ 作$BC$ 的垂线, 交$BC$ 于点$N$. 求证: $MN=\frac{BC}{2}$.

参考思路

如图所示: 分别过$D,A,F$ 作$BC$ 所在直线得垂线, 垂直分别是$P,R,Q$, 过$D$ 作$MN$ 的垂线, 分别交$MN,FQ$ 于$S,T$. 易证$\triangle DPB\cong BRA$, $\triangle ARC\cong CQF\Rightarrow DP=BR, RC=QF$. 另一方面易证$DPNS$ 和$NSTQ$ 为矩形且$MT=MD\Rightarrow SD=ST\Rightarrow MS$ 为 $\triangle DFT$ 的中位线, 所以$MS=\frac{FT}{2}\Rightarrow MN=\frac{DP+FQ}{2}=\frac{BR+RC}{2}=\frac{BC}{2}$.