每日一题：2020-03-21

每日一题: 2020-03-21
题目:
如图, 矩形$ABCD$ 与菱形$EFGH$ 的对角线均交于点$O$,且$EG\parallel BC$, 将点$C$ 与
点$O$ 中重合, 折痕$MN$ 恰好过点$G$, 若$AB=\sqrt{6}, EF=2, \angle H=120^{\circ}$,
求$DN$ 的长.

参考思路

如图作辅助线, 设$HF$ 所在的直线与$AD, BC$ 分别交于点$S,T$, 连结$NO,NC$.
由折叠及$EG\parallel BC\Rightarrow \angle CMN=\angle NMO=\angle OGM\Rightarrow OG=OM=MC$,

由$AB=\sqrt{6}, EF=2\Rightarrow OM=OG=MC=\sqrt{3}; OT=\frac{\sqrt{6}}{2}$, 所以
$TM=\sqrt{OM^2-OT^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

设$DN=x$, 在直角三角形$\triangle CDN$ 与$\triangle OSN$ 中,得:

$OS^2+SN^2=ND^2+CD^2$

所以$\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2+\left( \sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2=x^2+\sqrt{6}^2\Rightarrow x=\sqrt{6}-\sqrt{3}$