每日一题：2020-03-23

每日一题: 2020-03-23
题目:
如图所示, 在矩形$ABCD$ 中, $AB=20, BC=10$. 若在$AC,AB$ 上各取一点$M,N$, 使得
$BM+MN$ 的值最小, 求这个最小值.

参考思路

如果所示, 作$B$ 关于$AC$ 的对称点$G$, 连结$GM,GA$, 过$G$ 作$GH\bot AB$ 于$H$.

在$Rt\triangle ABC$ 中, $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\sqrt{5}$,
由$AC$ 垂直平分$BG\Rightarrow MB=MG\Rightarrow MB+MN\geq GN\geq GH$.

设$AC$ 与$GB$ 交于点$T$, 在$\triangle ABC$ 中有: $AC\times BT=BC\times AB\Rightarrow BT=4\sqrt{5}$.
所以$AT=\sqrt{AB^2-GT^2}=8\sqrt{5}$. 因此在$\triangle ABG$ 中有$AT\times BG=AB\times GH\Rightarrow GH=16$.

所以最小值为$16$.