每日一题：2020-03-24

每日一题: 2020-03-24
题目:
如图, 在正方形$ABCD$ 中, $E,F,G,H$ 分别在$AB,BC,CD,DA$ 上,
满足$HF=3,EG=4,\angle AHF$和$\angle BEG$ 均为锐角,且四边形$EFGH$ 的面积是$5$. 求
正方形$ABCD$ 的面积.

参考思路

如图所示作辅助线, 设正方形得边长为$a$, $HS=x, ET=y$, 由已知可得: $a^2=5\times 2-S_{MQPN}\Rightarrow a^2=10-xy$, $x^2+a^2=9, y^2+a^2=16 \Rightarrow x^2-xy=-1, y^2-xy=6\Rightarrow (y-x)^2=5$, 另一方面$y^2-x^2=7$, 通过计算可以得出$xy=\frac{6}{5}$, 所以$a^2=10-xy=\frac{44}{5}$. 即正方形$ABCD$ 的面积为$\frac{44}{5}$.