每日一题：2020-04-06

每日一题: 2020-04-06

题目: 一次函数$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$ 的图象与$x$ 轴, $y$轴分别交于点$A,B$.
以$AB$ 为斜边向外作等腰直角三角形$ABC$.
(1) $l$ 为过点$C$ 的直线, 当$l$ 平分$\triangle ABC$ 的面积时求$l$ 的方程;
(2) 在$x$ 轴上求出所有的点$M$, 使得$\triangle ABM$ 为等腰三角形.

参考思路

如图所示, 过$C$ 作$CP\bot OB,CQ\bot OA$ 垂足分别为$P,Q$.
$\because \triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore \triangle CPB\cong \triangle CQA\Rightarrow CP=CQ$.
设$BP=AQ=x\Rightarrow 1+x=\sqrt{3}-x\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$, 因此有:$C\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right) $

又由$l$ 平分$\triangle ABC$ 的面积,得$l$ 过$AB$ 的中点$E(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
所以易求得$l$ 的方程为:$y=\sqrt{3}x-1$.

(2)分别以$A,B$ 为圆心$2$ 为半径的圆与$x$ 轴交于三点的$M_1(\sqrt{3}-2,0), M_2(\sqrt{3}+2,0), M_3(-\sqrt{3},0)$.
再作$AB$ 的垂直平分线与$x$ 轴交于点$M_4$, 用勾股定理可求得$M_4(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$
综上有$M_1,M_2,M_3,M_4$ 满足要求.