每日一题：2020-04-09

每日一题: 2020-04-09

题目:
在平面直角坐标系中$A(0,8),B(4,0)$, $AB$ 的垂直平分线交$y$ 轴于点$D$, $M(a,1)$
为第一象限内的点, 当$S_{ABD}=2S_{MBD}$ 时, 求$a$ 的值(用两种方法做).

参考思路

如图所示, 设$DA=DB=x$, 所以$DO=8-x$, 且$OD^2+OB^2=DB^2\Rightarrow x=5\Rightarrow D(0,3)$.
$S_{ABD}=\frac{1}{2}\times AD\times OB=10\Rightarrow S_{BDM}=5$.
因为$M$ 在第一象限,显然$M$ 在$BD$ 的右侧, 因此
\[
S_{BDM}=S_{ODM}+S_{OBM}-S_{OBD}=\frac{3a}{2}+2-6=9\Rightarrow a=6
\]

思路二:
过$B$ 作$BC\bot x$ 轴, 交$DM$ 于点$C$.
$S_{BDM}=S_{BCD}+S_{BCM}=\frac{1}{2}\times BC\times |x_C-x_D|+\frac{1}{2}\times BC\times |x_M-x_C|=\frac{1}{2}\times BC\times a$.
求得$DM$ 的直线方程为: $y=-\frac{2}{a}x+3$,当$x=4$ 时可得$BC=-\frac{8}{a}+3$.
所以$\frac{1}{2}(-\frac{8}{3}+3)a=5\Rightarrow a=6$.