每日一题：2020-04-13

每日一题: 2020-04-13

题目:
已知$x,y,z$ 都不小于$0$, 且满足$3y+2z=3-x$ 及$3y+z=4-3x$,
求函数$u=3x-2y+4z$ 的最大值和最小值.

参考思路

由题意得$x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0$.
\[
\left\{\begin{array}{lr} 3y+2z=3-x \\ 3y+z=4-3x \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} y=\frac{5}{3}(1-x) \\ z=2x-1 \end{array}\right.
\]
根据$y\geq 0,z\geq 0\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq 1$.

又因为$u=3x-2y+4z=3x-2[\frac{5}{3}(1-x)]+4(2x-1)=\frac{1}{3}(43x-22)$.
所以, 当$x=\frac{1}{2}$ 时, $u$ 取最小值$-\frac{1}{6}$; 当$x=1$ 时, $u$ 取最大值7.