每日一题：2020-05-02

每日一题: 2020-05-02

题目:
如图所示, 矩形$ABCD$ 中, $AB=8, AD=4$, 点$E$ 为线段$BC$ 上动点, 将$DE$ 的中点
$M$ 顺时针旋转$90^{\circ}$ 得到点$N$, 当$A,C,N$ 共线时求$BE$ 的值.

参考思路

如果所示, 以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$ 轴, $AD$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直
角坐标系$xOy$. 延长$EN$ 至$F$ 使得$NF=EN$, 过$F$ 作$FG\bot BC$ 与$BC$ 的延长线
交于点$G$.

$\because EM=EN, EM\bot EN\Rightarrow ED=EF, \angle EDC=\angle FEG$.

因此易得$\triangle EDC\cong FEG(AAS)$
设$EC=a\Rightarrow GF=a, GC=8-a, GB=8-a+4=12-a$.

所以$E(8,4-a),F(8+a,12-a)\Rightarrow N\left( \frac{8+(8+a)}{2},\frac{(4-a)+(12-a)}{2} \right) \Rightarrow N(8+\frac{a}{2},8-a)$.

显然$AC$ 所在的直线方程为: $y=\frac{1}{2}x$, 由$N$ 在直线$AC$ 上
\[
8-a=\frac{1}{2}(8+\frac{a}{2})\Rightarrow a=\frac{16}{5}
\]
所以$BE=4-EC=4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}$.