每日一题：2020-05-04

每日一题: 2020-05-04

题目:
已知, 如图: 在平面直角坐标系中, 点$A(12,0)$, 直线$y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+b(b>0)$
分别与$x$ 轴, $y$ 轴相交于点$B,E$. 过$A$ 作直线$AC \bot x$ 轴交直线$BE$ 于点$C$,
过线段$AO$ 的中点$F$ 作$FD \bot BC$ 于$D$. $DF=6$.
(1) 求证: $OE=ED, CD=CA$;

(2) 求点$B,E$ 和$C$ 的坐标;

(3) 在$\angle ACB$ 的内部求一点$G$, 使点$G$ 到射线$CA,CB$ 以及线段$AE$ 的距离相等.

参考思路

(1) 如图所示, 连结$FE,FC$, 过$E$ 作$EH\bot AC$ 于$H$.
$\because FD=FO=FA=6\Rightarrow \triangle FOE\cong FDE, \triangle FCD\cong FCA$,
$\therefore OE=ED, CD=CA$.

(2) 分别将$x=0,x=12$ 代入直线方程可得: $E(0,b), C(12,3\sqrt{2}+b)$.
所以$ED=b, CD=3\sqrt{2}+b\Rightarrow CE=3\sqrt{2}+2b$.
在$Rt \triangle CEH$ 中, $CH=3\sqrt{2}, EH=12\Rightarrow (3\sqrt{2}+2b)^2=(3\sqrt{2})^2+12^2\Rightarrow b=3\sqrt{2}$.

因此直线方程为: $y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+3\sqrt{2}\Rightarrow B(-12,0), E(0,3\sqrt{2}), C(12,6\sqrt{2})$.

(3) 易得$EB=EA$, 由$EH\parallel OA\Rightarrow \angle CEH=\angle AEH$, 又$CF$ 平分$\angle ACB$
所以$EH$ 与$CF$ 的交点即为点$G$.
设过$CF$ 的直线方程为$y=mx+n$, 代入$F(6,0),C(12,6\sqrt{2})\Rightarrow y=\sqrt{2}x-6\sqrt{2}$.
令$y=3\sqrt{2}\Rightarrow G(9,3\sqrt{2})$.