每日一题：2020-05-15

每日一题: 2020-05-15

题目: 若$a,b,c,d$ 都是实数, 且

$a^2d^2+b^2(d^2+1)+c^2+2bd(a+c)=0$

求证: $b^2=ac$.

参考思路

方法一: 由已知得
\[
原式=a^2d^2+b^2d^2+b^2+c^2+2bda+2bdc=(ad+b)^2+(bd+c)^2=0
\]
所以可得$ad+b=0,bd+c=0$,
当$a=0$ 时$b=0$, 要证成立.
当$a\neq 0$ 时, $d=-\frac{b}{a}$ 代入$bd+c=0$ 可得$b^2=ac$.

方法二:
由已知得
\[
(a^2+b^2)d^2+(2ab+2bc)d+(b^2+c^2)=0
\]
所以$d$ 为方程$(a^2+b^2)x^2+(2ab+2bc)x+(b^2+c^2)=0$ 的实数根,
当$a^2+b^2=0$ 时证明显然成立, 当$a^2+b^2\neq 0$ 时有:
\[
\Delta =(2ab+2bc)^2-4(a^2+b^2)(b^2+c^2)\geq 0\Rightarrow -4(b^2-ac)^2\geq 0\Rightarrow b^2=ac
\]