每日一题: 2020-05-16
题目: 已知$a,b,c$ 是正实数, 且方程$ax^2+bx+c=0$ 有实数根.
求证: $\max (a,b,c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c)$.
参考思路
题目等价于证明: $\max (\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c})\geq \frac{4}{9}$.
所以不妨设$a+b+c=1$, 否则用$\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c}$ 代替$a,b,c$.
(1) 当$b\geq \frac{4}{9}$, 则问题得证.
(2) 当$0\lt b\lt \frac{4}{9}$ 时, 可得$a+c=1-b > \frac{5}{9}$.
(i) 当$a\geq \frac{4}{9}$ 时, 则问题得证.
(ii) 当$0\lt a\lt \frac{4}{9}$ 时
\\[
\Delta=b^2-4ac\geq 0\Rightarrow 4(\frac{5}{9}-c)\cdot c\leq 4ac\leq b^2\lt (\frac{4}{9})^2
\\]
即$c^2-\frac{5}{9}c+\frac{4}{81}>0\Rightarrow c\lt \frac{1}{9}$ 或$c>\frac{4}{9}$.
当$c\lt \frac{1}{9}$ 时, 又因为$a\lt\frac{4}{9}$与$a+c> \frac{5}{9}$ 矛盾!,
因此只能有$c>\frac{4}{9}$, 问题得证.