每日一题: 2020-05-27
题目: 若$x=1$ 时, 代数式$ax^2+bx+c$ 的值小于零, 求证方程$ax^2+bx+c=0\ (a>0)$ 的一
根大于$1$, 另一根小于$1$.
参考思路
设方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$ 的两根分别为$x_1,x_2$, 则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1x_2=\frac{c}{a}$.
所以$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+1=\frac{a+b+c}{a}$.
因为当$x=1$ 时, $ax^2+bx+c\lt 0$, 即$a+b+c\lt 0$, 又$a\gt 0$
所以$ \frac{a+b+c}{a}\lt 0$, 即$(x_1-1)(x_2-1)\lt 0$.
因此方程$ax^2+bx+c=0 (a\gt 0)$ 一根大于$1$, 另一根小于$1$.