每日一题: 2020-05-29
题目: 设方程$x^2-kx-7=0$ 和$x^2-6x-(k+1)=0$ 有公共根, 试求$k$ 的值.
参考思路
设这两个方程的公共根为$\alpha$, 所以有
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} \alpha^2-k\alpha -7=0 \\\\ \alpha^2-6\alpha -(k+1) \\end{array}\\right.
\\]
两式相减得: $(6-k)\alpha +(k-6)=0\Rightarrow (\alpha-1)(6-k)=0\Rightarrow \alpha=1$ 或 $k=6$.
由$\alpha=1$ 是方程$x^2-kx-7=0$ 的一 个根知另一个根为$-7\Rightarrow k=-6$;
由$\alpha=1$ 是方程$x^2-6x-(k+1)=0$ 的一个根知另一个根为$5\Rightarrow k=-6$.
经检验知$k=\pm 6$都满足要求.