每日一题: 2020-06-01
题目: $m$ 为什么整数时, $9m^2+5m+26$ 能分解成两个连续自然数的乘积.
参考思路
设对某个自然数$k\geq 2$, 有$9m^2+5m+26=k(k-1)$ 将上式整理成关于$m$ 的二次方程得
\\[
9m^2+5m-(k^2-k-26)=0
\\]
因为$m$ 为整数, $k$ 为有理数,
所以$\Delta_1=25+36(k^2-k-26)=36k^2-36k-911$ 必为完全平方数.
再设$36k^2-36k-911=p^2$ ($p$ 为自然数), 即$36k^2-36k-(p^2+911)=0$, 为了使本方程得
根为有理数, 必须使$\Delta_2=36^2+4\times 36(p^2+911)=12^2(p^2+920)$ 为完全平方数,
$\therefore p^2+920$ 为完全平方数.
又设$p^2+920=q^2$ ($q$ 为自然数), 则$(q+p)(q-p)=920$.
因为$q+p>q-p>0, q+p$ 与$q-p$ 同奇偶, 即它们均为偶数. 因此有:
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} q+p=460 \\\\ q-p=2 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} q+p=230 \\\\ q-p=4 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} q+p=92 \\\\ q-p=10 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} q+p=46 \\\\ q-p=20 \\end{array}\\right.
\\]
分别解得
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} p=229 \\\\ q=231 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} p=113 \\\\ q=117 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} p=41 \\\\ q=51 \\end{array}\\right. \\left\\{\\begin{array}{lr} p=13 \\\\ q=33 \\end{array}\\right.
\\]
把$p$ 的值代入求得$k$ 的值, 再把$k$ 的值代入可求得$m$ 的值为$m=-1,2,6,-13$.