每日一题：2020-06-12

每日一题: 2020-06-12

题目: 如图, 过点$C(3,4)$ 的直线$y=2x+b$ 交$x$ 轴于点$A$, $\angle ABC=90^{\circ}, \angle CAB=45 ^{\circ}$, 曲线$y=\frac{k}{x}(x>0)$ 过点$B$, 求$k$.

参考思路

如图所示,分别过点$C,B$ 作平行于$x$ 轴和$y$ 轴的直线. 与$y$ 轴$x$ 轴分别交于$M,N$,
两直线相交于点$P$. 因为$BC=BA, \angle CBA=90^{\circ}\Rightarrow \triangle PBC\cong \triangle NAB(AAS)$.
因此设$AN=BP=a, NB=PC=b$, 又易得$A(1,0)$, 由$ON=MP$ 及$PN=4$可得
\[
\left\{\begin{array}{lr} 1+a=b+3 \\ a+b=4 \end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{lr} a=3 \\ b=1 \end{array}\right.
\]
所以$B(4,1)\Rightarrow k=4\times 1=4$.