每日一题: 2020-06-13
题目: 如图所示, 已知$P,Q$ 为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$图象上两点, 满足
$OP=PQ, \angle OPQ=90^{\circ}$, 设$P(a,b)$, 求$\frac{a}{b}$ 的值.
参考思路
(1) 当$P$ 在$Q$ 点右边时, 如图所示, 分别过$P,Q$ 作平行于$x$ 轴, $y$ 轴的直线, 易得
$Q(a-b,a+b)$, 所以有$ab=(a+b)(a-b)\Rightarrow ab=a^2-b^2$ 两边同时除以$b^2$ 得
$\frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^2-1\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或$\frac{a}{b}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (舍去)
(2) 当$P$ 在$Q$ 点左边时, 如图所示, 分别过$P,Q$ 作平行于$x$ 轴, $y$ 轴得直线, 同理
可得$Q(a+b,b-a)$, 所以$ab=b^2-a^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或 $\frac{a}{b}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (舍去)
综上可知$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$.