每日一题：2020-06-19

每日一题: 2020-06-19

题目: 二次函数图象的对称轴为$x=-2$, 它与直线$y=2x+1$ 相切且图象在$x$ 轴上截得的线
段长为$2\sqrt{2}$, 求函数解析式.

参考思路

解设抛物线方程: $y=a(x+2)^2+c=ax^2+4ax+4a+c$.
因为与直线相切, 联立两方程
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=2x+1 \\ y=ax^2+4ax+4a+c \end{array}\right.
\]
消去$y$ 并整理得方程 $ax^2+(4a-2)x+4a+c-1=0$ 有两个相等实根
$\therefore \Delta_1 =(4a-2)^2-4a(4a+c-1)=0\Rightarrow ac=1-3a$.

又设方程$ax^2+4ax+4a+c=0$ 两实数根为$x_1,x_2\Rightarrow x_1+x_2=-4, x_1x_2=\frac{4a+c}{a}$
\[
|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{-4c}{a}}=2\sqrt{2}
\]
可得$ac=-2a^2=1-3a\Rightarrow 2a^2-3a+1=0\Rightarrow a_1=1,a_2=\frac{1}{2}$.
当$a=1$ 时, $c=-2a=-2$, 解析式为: $y=x^2+4x+2$;
当$a=\frac{1}{2}$ 时, $c=-2a=-1$, 解析式为: $y=\frac{1}{2}x^2+2x+1$.
经检验上式两个均满足要求.