每日一题：2020-06-21

每日一题: 2020-06-21

题目: 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a<0)$ 与坐标轴有且只有两个公共点, 这两个公式点到原点
的距离分别是$2$ 和$3$, 对称轴在$y$ 轴左侧.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) $x$ 在怎样的范围内, $y$ 随$x$ 增大而减小?

参考思路

由题意知, 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 与坐标轴的交点坐标分别为$(0,c),(-\frac{b}{2a},0)$.
因为$a<0$, 抛物线开口向下, 顶点在$x$ 轴上, 所以抛物线与$y$ 轴交点的纵坐标$c<0$;
又已知对称轴$x=-\frac{b}{2a}$ 在$y$ 轴左侧, 故$-\frac{b}{2a}<0$, 得$b<0$, 于是可分
两种情况求解析式:
(a)
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=-2 \\ \frac{b}{2a}=3 \\ \Delta=b^2-4ac=0 \end{array}\right.\Rightarrow a=-\frac{2}{9}, b=-\frac{4}{3}, c=-2
\]
抛物线解析式为$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$.
(b)
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=-3 \\ \frac{b}{2a}=2 \\ \Delta=b^2-4ac=0 \end{array}\right.\Rightarrow a=-\frac{3}{4}, b=-3, c=-3
\]
抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$

(2) 先在坐标平面内分别画出两条抛物线的示意图, 不难发现: 当$x>-3$ 时$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$
随$x$ 增大而减小; 当$x>-2$ 时, $y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$ 随$x$ 增大而减小.

综上, 当$x>-2$ 时, 上述两个函数$y$ 均随$x$ 增大而减小.