每日一题：2020-06-28

每日一题: 2020-06-28

题目: 已知抛物线$y=x^2+bx+c$ 经过点$(1,-5)$ 和$(-2,4)$.
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 设此抛物线与直线$y=x$ 相交于点$A,B$ (点$B$ 在点$A$ 的右侧), 平行于$y$ 轴的直线
$x=m(0\lt m\lt \sqrt{5}+1)$ 与抛物线交于点$M$, 与直线$y=x$ 交于点$N$, 交$x$ 轴于点
$P$, 求线段$MN$ 的长(用含$m$ 的代数式表示).
(3) 在条件(2)的情况下, 连结$OM,BM$, 是否存在$m$ 的值, 使$\triangle BOM$ 的面积$S$
最大? 若存在, 请求出$m$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

参考思路

(1) 代入点$(1,-5),(-2,4)$得方程组
\[
\left\{\begin{array}{lr} 1+b+c=-5 \\ 4-2b+c=4 \end{array}\right.\Rightarrow b=-2,c=-4
\]
所以$y=x^2-2x-4$.
(2)由$x^2-2x-4=x\Rightarrow x_1=-1,x_2=4\Rightarrow A(-1,-1),B(4,4)$, 根据题意得
$N(m,m), M(m,m^2-2m-4)\Rightarrow MN=m-(m^2-2m-4)=-m^2+3m+4$.
\[
S_{\triangle BOM}=S_{\triangle OMN}+S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}\times m\times
(-m^2+3m+4)+\frac{1}{2}\times (4-m)\times (-m^2+3m+4)=-2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{25}{2}
\]
所以当$m=\frac{3}{2}$ 时$S_{\triangle BOM}$ 取得最大值$\frac{25}{2}$.