每日一题：2020-06-29

每日一题: 2020-06-29

题目: 已知关于$x$ 的二次函数$y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$ 的图象与$x$ 轴的交点为
$A(x_1,0)$, $B(x_2,0)$, 且$x_1^2+x_2^2=5$, 与$y$ 轴的交点为$C$, 它的顶点为$M$, 求直线$CM$ 的方程.

参考思路

设$x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$ 的两根为$x_1,x_2$,
所以$\Delta =(2m-1)^2-4(m^2+3m+4)=-16m-15>0\Rightarrow m<-\frac{15}{16}$.
又由韦达定理$x_1+x_2=2m-1, x_1x_2=m^2+3m+4$, 所以
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m-1)^2-2(m^2+3m+4)=5\Rightarrow m^2-5m-6=0$.
解得$m=-1$ 或$m=6$ (舍去)

所以二次函数解析式为: $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\Rightarrow C(0,2),M(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$
易求得$CM$ 的直线方程为: $y=\frac{3}{2}x+2$.