每日一题：2020-06-30

每日一题: 2020-06-30

题目: 已知二次函数的图象开口向上且不过原点$O$, 顶点坐标为$(1,-2)$, 与$x$ 轴交于点
$A,B$, 与$y$ 轴交于点$C$, 且满足关系$|OC|^2=|OA|\cdot |OB|$.
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 求$\triangle ABC$ 的面积.

参考思路

设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2=ax^2-2ax+a-2$ 且$a>0$, 再设图象与$x$ 轴, $y$ 轴
的交点分别为$A(x_1,0),B(x_2,0),C(0,a-2)$.
(1) 由$|OC|^2=|OA|\cdot |OB|\Rightarrow (a-2)^2=|x_1x_2|=|\frac{a-2}{a}|\Rightarrow a^3-4a^2+4a=|a-2|$.
当$0\lt a\lt 2$ 时, 有$a^3-4a^2+5a-2=0\Rightarrow (a-1)^2(a-2)=0$
$\Rightarrow a_1=1$ 或$a_2=2$ (舍去).
由$a=1\Rightarrow y=x^2-2x-1$.

当$a>2$ 时, 有$a^3-4a^2+3a+2=0\Rightarrow (a-2)(a^2-2a-1)=0$
$\Rightarrow a_1=2$ (舍去), $a_2=1+\sqrt{2}, a_3=1-\sqrt{2}<0$(舍去)
故$a=1+\sqrt{2}$ 即$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$.

(2) 由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |OC|$, 有以下两种情况:
当$y=x^2-2x-1$ 时
$|AB|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}$, 又$|OC|=1$, 故$S_{\triangle ABC}=\sqrt{2}$.
当$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$ 时
$|AB|=2\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$, 又$|OC|=\sqrt{2}-1$, 所以$S_{\triangle ABC}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$

综上, 所求$\triangle ABC$ 的面积为$\sqrt{2}$ 或$(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$.