每日一题: 2020-07-05
已知函数$y=(a+2)x^2-2(a^2-1)x+1$,其中自变量$x$ 为正整数, $a\gt 4$ 也是正整数.
问: 当$x$ 为何值时, 函数值最小?
参考思路
函数整理为
$$ y=(a+2)(x-\frac{a^2-1}{a+2})^2+1-\frac{(a^2-1)^2}{a+2}$$
所以其对称轴是直线
$$x=\frac{a^2-1}{a+2}=(a-2)+\frac{3}{a+2}$$
因为$a\gt 4\Rightarrow 0\lt \frac{3}{a+2}\lt 1\Rightarrow a-2\lt \frac{a^2-1}{a+2}\lt a-1$
所以函数最小值只可能在$x$ 取$a-2,a-1$ 之一时达到.
当$x=a-2$ 时, $y_1=(a+2)(a-2)^2-2(a^2-1)(a-2)+1$;
当$x=a-1$ 时, $y_2=(a+2)(a-1)^2-2(a^2-1)(a-1)+1$;
考虑$y_2-y_1=a-4\gt 0$, 所以当$x=a-2$ 时, 函数值最小.