每日一题：2020-07-09

每日一题: 2020-07-09

题目: 已知函数$y=x^2-|x|-12$ 的图象与$x$ 轴交于相异两点$A,B$, 另一抛物线
$y=ax^2+bx+c$ 过点$A,B$, 顶点为$P$, 且$\triangle APB$ 是等腰直角三角形.
求$a,b,c$.

参考思路

考虑方程$x^2-|x|-12=0$.
当$x\gt 0$ 时, $x^2-x-12=0$, 解得$x_1=4,x_2=-3$ (舍去).
当$x\lt 0$ 时, $x^2+x-12=0$, 解得$x_3=-4, x_4=3$ (舍去).
所以$A,B$ 两点的坐标是$(4,0),(-4,0)$, 设$y=ax^2+bx+c=a(x-4)(x+4)$.
因为$\triangle PAB$ 为等腰直角三角形, 而$A,B$ 为定点, 所以$AB$ 可为斜边, 也可为直
角边. 当$AB$ 为斜边时, 可求得$P$ 点坐标为$(0,4)$ 或$(0,-4)$; 当$AB$ 为直角边时, 这
种情况显然不满足题设条件的(想想为什么).

将$P(0,4)$ 代入得$a=\frac{1}{4}$, 将 $P(0,-4)$ 代入得$a=-\frac{1}{4}$,
所以$a=-\frac{1}{4}, b=0,c=4$ 或$a=\frac{1}{4},b=0,c=-4$ 满足要求.