每日一题：2020-07-11

每日一题: 2020-07-11

题目: 如图, 抛物线$E:y=x^2+4x+3$ 交$x$ 轴与$A,B$ 两点, 交$y$ 轴于$M$ 点, 抛物线$E$
关于$y$ 轴对称的抛物线$F$ 交$x$ 轴于$C,D$ 两点.
(1) 求 抛物线$F$ 的解析式;
(2) 在$x$ 轴上方的抛物线$F$ 或$E$ 上是否存在一点$N$, 使以$A,C,N,M$ 为顶点的四边形
是平行四边形? 若存在,求出点$N$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

参考思路

(1)设$P(x,y)$ 为抛物线$F$上的任意一点, 则$P$ 关于$y$ 轴对称的点$P'$ 在抛物线$E$ 上,
即$P'(-x,y)$ 抛物线$E$ 上, 所以有$y=(-x)^2+4(-x)+3=x^2-4x+3$, 此关系式即为$x$ 与$y$ 满足的关系
所以抛物线$F$的解析式为: $y=x^2-4x+3$.

(2) 易得$A(-3,0),C(1,0),M(0,3)$, 所以满足$A,C,M,N$ 为顶点的四边形式平行四边形的点$N$有
$N_1(-4,3),N_2(4,3),N_3(-2,-3)$, 经验算$N_1,N_2$ 满足要求.