每日一题：2020-07-13

每日一题

题目: 已知抛物线与$x$ 轴交于点$A(-2,0),B(4,0)$,与$y$ 轴交于点$C(0,8)$.
(1) 求抛物线的解析式及其顶点$D$ 的坐标;
(2) 设直线$CD$ 交$x$ 轴与点$E$. 在线段$OB$ 的垂直平分线上是否存在点$P$, 使得点$P$
到直线$CD$ 的距离等于点$P$ 到原点$O$ 的距离? 如果存在, 求出点$P$ 的坐标; 如果不存
在, 请说明理由;
(3) 过点$B$ 作$x$ 轴的垂线, 交直线$CD$ 于点$F$, 将抛物线沿其对称轴平移, 使抛物线于
线段$EF$ 总有公共点. 试探究: 抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多
少个单位长度?

参考思路

(1) 设抛物线方程为$y=a(x+2)(x-4)$ 代入点$C(0,8)$ 解得$a=-1$, 所以抛物线方程
$y=-x^2+2x+8$, 又$-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9$, 所以 顶点坐标$D(1,9)$.
(2) 如图, 易求得$CD$ 的直线方程为: $y=x+8$, 设 $p(2,t)$, 所以$OP=\sqrt{4+t^2}$,
$PH=|10-t|\Rightarrow P$到直线$CD$ 的距离$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}PH=\frac{\sqrt{2}}{2}|10-t|$.
由题意可得: $\sqrt{4+t^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}|10-t|\Rightarrow t^2+20t-92=0\Rightarrow t=-10\pm 8\sqrt{3}$.
所以有$P(2,-10+8\sqrt{3})$ 或$P(2,-10-8\sqrt{3})$满足要求.

(3) 设向上平移$m (m>0)$ 个单位得$y=-(x+)(x-4)+m$, 由题意知当$x=-8$ 时$y\leq 0$;
或当$x=4$ 时$y\leq 12$, 即$-(-8+2)(-8-4)+m\leq 0\Rightarrow m\leq 72$
或$-(4+2)(4-4)+m\leq 12\Rightarrow m\leq 12$.所以$0\lt m\lt 72$.
向下平移$m(m>0)$ 个单位得$y=-(x+2)(x-4)-m$, 联立$y=x+8$ 得
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-(x+2)(x-4)+m \\ y=x+8 \end{array}\right.\Rightarrow x^2-x+m=0
\]
由$\Delta\geq 0\Rightarrow m\leq \frac{1}{4}$.

综上: 向上最多可平移$72$ 个单位, 向下最多可以平移$\frac{1}{4}$ 个单位.