每日一题：2020-07-25

每日一题: 2020-07-25

题目: 一列数$a_1,a_2,a_3,\ldots$ 满足对任意正整数$n$, 都有$a_1+a_2+\cdots+a_n=n^3$.
求$\frac{1}{a_2-1}+\frac{1}{a_3-1}+\cdots+\frac{1}{a_{100}-1}$ 的值.

参考思路

由题意知: $a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}=(n+1)^3$, 与$a_1+a_2+\cdots+a_n=n^3$ 相减得:
\[
a_{n+1}=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{3}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})
\]
因此
\[
\frac{1}{a_2-1}+\frac{1}{a_3-1}+\cdots +\frac{1}{a_{100}-1}=\frac{1}{3}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})]=\frac{33}{100}
\]