每日一题: 2020-07-28
题目: 设$P$ 是$\triangle ABC$ 边上的一点, 则证明
$BP\cdot AC^2+PC\cdot AB^2=BC\cdot AP^2+BP\cdot PC\cdot BC$.
参考思路
如图所示, 过点$A$ 作$AH\bot BC$ 于$H$, 设$H$ 在线段$PC$ 上(若则线段$BP$ 上同理可证)
所以由勾股定理可知
$AC^2=AH^2+HC^2=AP^2-PH^2+HC^2=AP^2+(HC+PH)(HC-PH)$
$\Rightarrow AC^2=AP^2+PC(HC-PH)\Rightarrow AC^2\cdot PB=AP^2\cdot PB+PB\cdot PC(HC-PH)$.
$AB^2=AH^2+HB^2=AP^2-PH^2+HB^2=AP^2+(HB+PH)(HB-PH)$
$\Rightarrow AB^2=AP^2+PB(HB+PH)\Rightarrow AB^2\cdot PC=AP^2\cdot PC+PB\cdot PC(HB+PH)$.
将上述两式相加即得
$$AC^2\cdot PB+AB^2\cdot PC=AP^2(PB+PC)+PB\cdot PC(HC-PH+HB+PH)$$
所以有: $$BP\cdot AC^2+PC\cdot AB^2=BC\cdot AP^2+BP\cdot PC\cdot BC$$
