每日一题：2020-08-05

每日一题: 2020-08-05

题目: 已知: 过$\triangle ABC$ 重心$G$ 的直线分别交边$AB,AC$ 及$CB$ 延长线于点$E,F,D$.
求证: $\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=1$.

参考思路

连结$AG$ 并延长交$BC$ 于$M$, 则$BM=CM$.
由$DEG$ 截$\triangle ABM$ 及$DGF$ 截$\triangle ACM$ 应用梅涅劳斯定理得:
$\frac{BE}{EA}\cdot \frac{AG}{GM}\cdot \frac{MD}{DB}=1$; $\frac{CF}{FA}\cdot \frac{AG}{GM}\cdot \frac{MD}{DC}=1$.
$\therefore \frac{BE}{EA}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DB}{MD}$, $\frac{CF}{FA}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DC}{MD}$
两式相加得:

$\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=\frac{GM(DB+DC)}{AG\cdot MD}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DB+DC}{MD}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{1}=1$

问题得证.