每日一题: 2020-08-11
题目: 已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+c (a\neq 0)$, 当$0\leq x\leq 1$ 时, $|f(x)|\leq 1$,
试求$a$ 的最大值.
参考思路
由
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} f(0)=c \\\\ f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}a+b+c \\\\ f(1)=3a+2b+c \\end{array}\\right.
\\]
得$3|a|=|2f(0)+2f(1)-4f(\frac{1}{2})|\leq 2|f(0)|+2|f(1)|+4|f(\frac{1}{2})|\leq 8$
故$a\leq \frac{8}{3}$.
又易知当$f(x)=8x^2-8x+1$ 时满足题设条件, 所以$a$ 的最大值为$\frac{8}{3}$.