每日一题: 2020-08-17
题目: 在锐角$\triangle ABC$ 中, $\angle C$ 的平分线交$AB$ 于$L$, 从$L$ 作边$AC$ 和
$BC$ 的垂线, 垂足分别是$M$ 和$N$, 设$AN$ 和$BM$ 的交点是$P$, 证明: $CP\bot AB$.
参考思路
如图, 作$CK\bot AB$, 下证$CK,BM,AN$ 三线共点, 且为$P$ 点. 要证$CK,BM,AN$ 三线共点,
根据塞瓦定理即要证: $\frac{AM}{MC}\cdot \frac{CN}{NB}\cdot \frac{BK}{KA}=1$. 又因
为$MC=CN$, 即要证: $\frac{AM}{AK}\cdot \frac{BK}{NB}=1$.
因为$\triangle AML \backsim \triangle AKC \Rightarrow \frac{AM}{AK}=\frac{AL}{AC}$.
$\triangle BNL\backsim \triangle BKC\Rightarrow \frac{BK}{NB}=\frac{BC}{BL}$.
即要证: $\frac{AL}{AC}\cdot \frac{BC}{BL}=1$, 根据三角形的角平分线定理可知: $\frac{CA}{CB}=\frac{AL}{BL}$.
所以$CK,BM,AN$ 三线共点, 且为$P$ 点, 所以$CP\bot AB$.